Potenzialfunktion

Potenzialfunktion,

 

harmonische Funktion, eine Funktion (von n reellen Variablen x₁,. .., x_n), die der Laplace-Gleichung ΔV = 0 genügt, wobei der Laplace-Operator Δ für eine im Definitionsgebiet G ⊂ ℝⁿ reellwertige, zweimal partiell differenzierbare Funktion f durch

 

definiert ist. Im Falle zweier reeller Variablen x und y und bestimmter Stetigkeitsvoraussetzungen für die erste und zweite Ableitung in der Umgebung eines Punktes (x₀, y₀) ist f (x, y) der Realteil einer bei z₀ = x₀ + iy₀ regulären Funktion der komplexen Variablen z = x + iy (Funktionentheorie).

 

Die Werte einer harmonischen Funktion f auf dem Rand von G bestimmen - unter gewissen Voraussetzungen über die Randkurve beziehungsweise bei drei (und mehr) Variablen über die berandende (Hyper-)Fläche - ihre Werte im Innern des Gebietes. 1) Zu einer auf dem Rand von G definierten und dort stetigen Funktion w gibt es genau eine im Innern von G harmonische Funktion f, die auf dem Rand mit der Funktion w übereinstimmt (dirichletsches Problem). 2) Ist das Gebiet G ein Kreis oder eine Kugel, kann für f ein Integralausdruck angegeben werden, der von w abhängt. 3) Eine in einem beschränkten Gebiet G harmonische Funktion, die dort keine Konstante und auf dem Rand von G noch stetig ist, nimmt das Maximum und das Minimum ihrer Funktionswerte nur auf dem Rand von G an. (Potenzialtheorie)